考研数学#2018-2025考研究生数学#二次型的常考题型及基本算法

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二次型是线性点数的重点内容之一，也是考研数学中必考的内容。二次型实际上是特征值的几何应用，复习二次型时一定要搞清楚二次型与特征值、特征向量之间的内在联系。下面请随老师来总结一下有关二次型的相关重点内容及常考题型。
一、考试要求
1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念;
2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换法和配方法化二次型为标准形;
3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。
二、常考题型
1.二次型的标准形;
2.二次型的规范形和惯性指数;
3.正定二次型和正定矩阵;
4.矩阵合同的判断。
三、化二次型为标准形
1.相关理论
定理1(可逆变换)
, 可逆，即 ，实对称矩阵都合同于一对角矩阵。
【注】标准形的系数不一定是特征值， 的列不一定是特征向量。
定理2(正交变换)
, 为正交矩阵，
即 ，其中 是 的特征值， 是由对应的两两正交的单位特征向量组成。
2. 计算方法
方法1：配方法
先将含 的所有项配成完全平方，再将含 的所有项配成完全平方，依次类推，直至配完;若二次型不含平方项，则用平方差公式化出平方项，然后逐步配方。
方法2：正交变换法
写出矩阵 ;
求特征值 ;
求特征向量 ，并将其正交单位化,记为 (注：正交化只在属于同一个特征值的特征向量内部进行);
令 ，则 为正交阵，且 ， 与 对应;
令 ，则 。
本文主要介绍了二次型的相关考试要求、考试中常考题型及最基本的计算方法。希望对2018考研的同学们有一定的帮助。