量子力学数学基础

吴屋

MATHEMATICAL FOUNDATIONS OF QUANTUM MECHANICS
量子力学数学基础










前言
1933年，约翰·冯·诺依曼 [1903年12月28日 – 1957年2月8日] 成为高等研究院（Institute for Advanced Study）的创始教员（与阿尔伯特·爱因斯坦和奥斯瓦尔德·维布伦一起，库尔特·哥德尔为访问成员），并在那里度过了余生。下列纪念文章的杰出作者是1949年和1952-1954年的成员，当时有机会与冯·诺依曼 personally acquainted（熟人/结识）。该文章（经许可）摘自《美国数学学会通报》（Bulletin of the American Mathematical Society）第64卷，第3期，第2部分（1958年5月）第95-99页，该期129页的全部内容都致力于对冯·诺依曼在八个不同学科领域贡献的专家综述。
冯·诺依曼对量子理论的贡献LÉON VAN HOVE
冯·诺依曼作为量子力学的“卓越”数学家，对现在的每一位物理学家来说，就像四分之一世纪前一样显而易见。量子力学确实非常幸运，在1925年发现后的最初几年里，就吸引了像冯·诺依曼这样具有数学天才 stature（地位/ stature）的人的兴趣。结果，该理论的数学框架得以发展，其全新解释规则的形式方面在两年时间（1927-1929）内由一个人进行了分析。相反，人们几乎可以说作为回报，量子力学将冯·诺依曼引入了一个数学调查研究领域——算子理论（operator theory），并在那里取得了一些最显著的成就。
冯·诺依曼对量子力学的主要贡献是他对理论数学框架的发展以及他对量子统计、量子测量过程及其相互关系的形式研究。虽然后者的研究在1927年已基本完成（除了1929年的量子遍历定理），但关于量子力学数学基础的工作在1929年随着希尔伯特空间中超极大对称算子（hypermaximal symmetric operators）的谱定理（spectral theorem）达到了顶峰。在接下来的两段中，我们将讨论这些主要贡献。
量子理论的数学框架。 到冯·诺依曼开始研究量子力学形式框架时，该理论已知有两种不同的数学表述：海森堡、玻恩和约尔的“矩阵力学”，以及薛定谔的“波动力学”。这些表述的数学等价性已由薛定谔建立，并且它们都被作为特例嵌入到狄拉克和约尔发展的一般形式体系中，通常称为“变换理论”（transformation theory）。然而，这种形式体系相当笨拙，并且受到其对定义不明确的数学对象——著名的狄拉克δ函数及其导数——的依赖的阻碍。尽管冯·诺依曼最初在与希尔伯特和诺德海姆 [1] 的合作中试图沿类似路线阐明该形式体系，但他很快意识到，希尔伯特空间及其线性算子 [2] 的抽象公理化理论提供了一个自然得多的框架。这种量子力学的数学表述，即物理系统的状态由希尔伯特空间向量描述，可测量量由作用在其上的厄米算子（Hermitian operators）描述，确实非常成功。在其本质上保持不变的情况下，它经受住了量子理论随后要经历的两个重大扩展：粒子的相对论量子力学（狄拉克方程）和场的量子理论。
当然，人们可能会指出，狄拉克的δ函数及其导数，虽然在引入时定义不明确，但自那以后在 L. 施瓦茨（L. Schwartz）的分布理论中已被认可为真正的（bona fide）数学实体。这完全是真的，而且这些函数在量子理论的发展过程中一直被物理学家连续使用，特别是在过去二十年中用于研究散射过程和量子化场。每当考虑具有连续谱的算子时，δ函数已确立自己为自然工具。然而，这丝毫不影响公理化定义的可分希尔伯特空间是我们今天所知的量子力学形式体系的合适框架这一事实，而对这一事实的认识我们要归功于冯·诺依曼。
希尔伯特空间量子理论表述的一个本质特征是，最重要的物理量（如位置、动量或能量）由无界厄米算子（unbounded Hermitian operators）表示。由于测量的理论预测本质上依赖于表示物理量的算子的谱分解（spectral resolution），冯·诺依曼在他最初的调查 [2] 中，就面临着将已知的有界厄米算子谱理论扩展到无界情况的问题。到1929年，他已将此问题 brought to a complete solution [3]（彻底解决）。他引入了超极大对称算子（hypermaximal symmetric operator）这一至关重要的概念，即具有谱分解的最一般的厄米算子。这项工作，其结果由 M. H. Stone [4] 独立完成，对冯·诺依曼来说，是开始了一系列关于希尔伯特空间中线性算子的漫长研究的起点。


量子理论的统计方面。 在他利用希尔伯特空间的向量和算子表述量子力学的过程中，冯·诺依曼还给出了该理论的基本统计解释规则的完整概括。这条规则涉及对处于给定量子态的系统测量给定物理量的结果，并通过一个简单且如今已完全为人熟知的公式表达其概率分布，该公式涉及代表状态的向量和代表物理量的算子的谱分解 [2]。这条规则最初由玻恩（Born）于1926年提出，对冯·诺依曼而言，这是完全用概率术语对量子力学进行数学分析的起点。这项分析是在1927年的一篇论文 [7] 中进行的，它引入了统计矩阵的概念，用于描述不一定都处于同一量子态的系统系综。统计矩阵（现在常称为  ρ -矩阵，尽管冯·诺依曼当时的符号是  U ）已成为量子统计的主要工具之一，正是通过这一贡献，冯·诺依曼的名字甚至为那些最缺乏数学头脑的物理学家所熟知。
在同一篇论文中，冯·诺依曼还研究了一个至今仍是许多讨论主题的问题；即，量子力学测量过程及其所涉及的非因果元素的理论描述。从数学上讲，冯·诺依曼对这一微妙问题的研究相当优雅。它为众多研究提供了一个清晰的形式框架，这些研究是为了从物理上阐明量子现象对物理测量本质至关重要的含义，其中最重要的是尼尔斯·玻尔（Neils Bohr）的互补性概念。
刚才讨论的论文的结果立即被作者用来为量子热力学奠定基础 [8]。他给出了著名的经典熵公式的量子类比：


他进一步写下了温度为  T T  的正则系综的密度矩阵：


其中  H H 是哈密顿算子。两年后，冯·诺依曼带着对量子热力学的贡献回归，着手解决一个更困难的问题：量子系统遍历定理的表述和证明 [9]。这项工作的基本原理是通过考虑那些所有宏观量都以一定不精确度取给定值的量子态集合，来定义相空间中“胞腔”（cells）的量子类比。人们进一步考虑将这些量子态与哈密顿量的本征态联系起来的酉变换  u u。然后，对于变换  u u 的“几乎每一个”值建立了遍历性。虽然后一个限制从物理角度来看相当令人不满意，但必须将冯·诺依曼的遍历定理视为对这一最困难课题的极少数重要贡献之一，该课题即使到现在也远未得到完全澄清。
我们简要回顾的大部分工作已被作者以大大扩展的形式重新出版为一本书，该书迅速成为并仍然是量子力学数学基础的标准著作 [10]，[本书即为该书的英译本]。冯·诺依曼在他的书中对一点给予了相当多的关注，这一点在1927年的论文中未曾讨论，后来成为许多争议的主题。这就是关于“隐变量”可能存在的问题，考虑这些变量将消除测量过程中涉及的非因果元素。冯·诺依曼能够证明，如果保留量子理论的基本结构，具有这种性质的隐参数是不可能存在的。尽管他明确提到了后一个限制，† 但他的结果经常被引用而没有适当提及这一点，这一事实在多年来致力于量子理论完全确定性重构可能性的许多讨论中，有时引发了不公正的批评。
其他贡献。 正如冯·诺依曼的完整书目所显示的那样，他还写了不少关于量子力学的其他论文，通常是与物理学家合作，特别是与维格纳（Wigner）。这些论文大多涉及技术性问题，且上述主要贡献的重要性如此卓越，以至于相比之下，其他论文的范围显得 modest（有限）。只有一个广泛的课题我们要在此提及，因为冯·诺依曼显然对其进行了深思熟虑，并在1934年和1936年多次回归该主题（与约尔丹、维格纳和加勒特·伯克霍夫合作）。这就是量子力学的代数和逻辑结构问题，人们希望通过抽象分析达到对公认理论的可能推广。没人知道这种希望是否有根据，但这无疑是一种自然的希望，并且它吸引了许多其他人，这再次证明了冯·诺依曼思想的力量和独创性。
引言
本书旨在以一种统一的表述来呈现新量子力学，这种表述在可能且有用的范围内，力求数学上的严谨。这种新量子力学近年来在其本质部分已经达到了大概是确定的形式：即所谓的“变换理论”（transformation theory）。因此，主要重点将放在与该理论相关的一般性和基本问题上。特别是，解释方面的难题（其中许多甚至至今尚未完全解决）将被详细探讨。在这方面，量子力学与统计学以及经典统计力学的关系具有特殊的重要性。然而，作为一般规则，我们将省略任何关于量子力学方法应用于特定问题的讨论，以及任何关于从一般理论导出的特殊理论的讨论——至少在不危及对一般关系理解的前提下是这样。鉴于关于这些问题的几部优秀论著要么已经出版，要么正在出版过程中，这似乎更为可取。
另一方面，将给出为本理论目的所必需的数学工具的陈述，即希尔伯特空间（Hilbert space）理论和所谓的厄米算子（Hermitian operators）理论。为此，对无界算子（unbounded operators）的准确介绍也是必要的，即对该理论超出其经典界限的扩展（由 D. Hilbert, E. Hellinger, F. Riesz, E. Schmidt, O. Toeplitz 发展）。关于这种处理方式所采用的方法，可以说以下几点：作为一般规则，计算应使用算子本身（代表物理量）进行，而不是使用矩阵，后者是在希尔伯特空间中引入（特殊的且任意的）坐标系后由算子导出的。这种“无坐标的”（coordinate free），即不变的（invariant）方法，凭借其强烈的几何语言，具有明显的形式上的优势。
第一章导论性思考
1. 变换理论的起源
此处并非详述量子理论在1900年至1925年间取得的巨大成功的场合，那是一个由普朗克（Planck）、爱因斯坦（Einstein）和玻尔（Bohr）的名字所主导的发展时期。在这一发展时期结束时，毫无疑问地清楚的是，所有基本过程，即所有原子或分子数量级的事件，都服从量子的“不连续”定律。几乎在所有方向上都有了定量的量子理论方法，这些方法在大多数情况下得出的结果与实验吻合良好或至少相当吻合。而且，从根本上说更为重要的是，理论物理学界的普遍观点已经接受了这样一种思想：即在宏观世界中盛行的连续性原则（“natura non facit saltus”，即自然不飞跃），仅仅是由一个本质上因其本性而不连续的世界中的平均过程所模拟出来的。这种模拟是如此逼真，以至于一个人通常同时感知到数十亿个基本过程的总和，因此大数平均律完全掩盖了单个过程的真实本性。
尽管如此，直到上述时期为止，并不存在一个数理物理的量子理论体系能够体现当时已知的一切并将其纳入一个统一的结构中，更不用说展现出力学、电动力学和相对论体系（该体系曾被量子现象所破坏）所具有的那种宏伟的坚固性了。尽管量子理论声称具有普适性（这一点显然已被证实），但缺乏必要的形式和概念工具；存在的只是一堆本质不同、相互独立、异质且部分相互矛盾的碎片的混合体。在这方面最引人注目的几点是：对应原理（correspondence principle），它一半属于经典力学和电动力学（但在问题的最终澄清中起了决定性作用）；光的自相矛盾的二重性（波动性和微粒性，参见注5和注148）；最后，未量子化（非周期）运动和量子化（周期或多周期）运动的同时存在。
1925年带来了解决方案。由海森堡（Heisenberg）发起的一种程序，由玻恩（Born）、海森堡、约尔丹（Jordan）以及稍后的狄拉克（Dirac）发展成了一个新的量子理论体系，这是物理学拥有的第一个完整的量子理论体系。稍后，薛定谔（Schrödinger）从一个完全不同的出发点发展了“波动力学”（wave mechanics）。这达成了同样的目的，并很快被证明等同于海森堡、玻恩、约尔丹和狄拉克的体系（至少在数学意义上，参见下文的3和4）。基于玻恩对量子理论自然描述的统计解释，狄拉克和约尔丹得以将这两种理论合二为一，即“变换理论”（transformation theory），在该理论中，他们使得对物理问题的把握在数学上变得特别简单。
应当提及（尽管这不属于我们的特定主题），在古德斯米特（Goudsmit）和乌伦贝克（Uhlenbeck）发现了电子的磁矩和自旋之后，早期量子理论的几乎所有困难都消失了，以至于今天我们拥有一个几乎完全令人满意的力学体系。诚然，前文提到的与电动力学和相对论的巨大统一尚未恢复，但至少存在一种普遍有效的力学，其中量子定律以自然且必要的方式融入，并且令人满意地解释了我们要进行的绝大多数实验。
2. 量子力学的原始表述
为了获得对问题的初步看法，让我们简要阐述海森堡-玻恩-约尔丹（Heisenberg-Born-Jordan）“矩阵力学”和薛定谔（Schrödinger）“波动力学”的基本结构。


（这个  H H  就是哈密顿函数。）在这两种理论中，我们现在必须尽可能多地从这个哈密顿函数中了解系统的真实，即量子力学的，行为。因此，首先，我们必须确定可能的能级，然后找出相应的“定态”（stationary states），并计算“跃迁概率”（transition probabilities）等。
























我们看到，这两种理论的初始概念和实际方法存在相当大的差异。尽管如此，从一开始它们就总是得出相同的结果，即使在两者给出的细节都与旧量子论概念不同的地方也是如此。正如在 I.1 中提到的，这种非凡的情况很快就被薛定谔关于它们数学等价性的证明所澄清。我们将把注意力转向这个等价性证明，并同时阐述狄拉克-约尔丹的一般变换理论（该理论结合了这两种理论）。
3. 两种理论的等价性：变换理论


不是一个对角矩阵。那么正确的解表示为以下形式：


























4. 两种理论的等价性：希尔伯特空间


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